☛ *** Expression d'une fonction affine

Énoncé

Soit \(f\) la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) telle que : 

• pour tout réel \(x,\) \(f(x)+f(-x)=-1\) ;
• \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\).

1. Démontrer que \(f(0)=-\dfrac{1}{2}\).
2. En déduire l'expression de \(f(x)\) pour tout réel \(x\).

Solution

1. On a \(f(-0)=f(0)\) donc  \(f(0)+f(-0)=f(0)+f(0)=2\times f(0)\).
Ainsi \(2\times f(0)=-1\), d'où \(f(0)=-\dfrac{1}{2}\).
2. On a \(m=\dfrac{f\left(\dfrac{3}{2}\right) - f(0)}{\dfrac{3}{2}-0} = \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}\).
Ainsi, pour tout réel \(x\), on a \(f(x)=\dfrac{2}{3}x+p\).
Et \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{2}+p=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1+p=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow p=\dfrac{1}{2} -1 \Leftrightarrow p=-\dfrac{1}{2}\).
Donc, pour tout réel \(x\), on a \(f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\).